Gravedad y rozamiento (II)

En mi anterior entrada titulada "Gravedad y rozamiento", he ido añadiendo algunos cálculos. Como lo que sigue es algo más complicado y técnico (ya aviso que, como ingeniero, estoy bastante oxidado, así que seguramente habrá errores en lo que sigue), he decidido ponerlo por separado. Lo dejo escrito a mano, porque no veo forma de editar aquí ecuaciones. La idea era (véase la citada entrada) que la bola, al chocar, se deforma una cantidad  δ por elasticidad y degrada energía (por hipótesis mía) según una fuerza proporcional a la velocidad (allí, desprecié la elasticidad, lo que no es muy exacto). Con esas hipótesis, la deformación era proporcional a la velocidad vertical de impacto. Propongo un modo de calcular esa deformación de mi propia cosecha. Supongamos que la aceleración durante el impacto es "a" y es la misma en todo el interior de la bola. Se podría calcular dividiendo las velocidades antes y después del choque, por el tiempo que este dura; por ejemplo, se podría medir grabando el impacto con una cámara de alta velocidad. Yo supondré que es conocido. Llamo σ a la distribución por unidad de superficie de la fuerza ejercida por las diferentes partes de la bola sobre una rebanada diferencial de espesor dy. La idea es que la aceleración a, uniforme en todo el choque y homogénea en el material, nos permite plantear una ecuación dinámica para calcular la función σ(y), aplicarla en la ecuación de elasticidad y luego integrar la ecuación diferencial resultante para obtener la deformación total. Si veis errores, no dejéis de señalarlos: cualquier comentario será bienvenido.

De hecho, esta integral es bastante fácil: haciendo un cambio de variable y/R = t y percatándose de que el polinomio del numerador comparte la raíz t = 1 con el del denominador, la cosa se simplifica bastante. Los límites de integración deberían ser, para la variable t, 1 y -1, pero no es así. Veamos primero qué pasa. Dividiendo los polinomios, obtenemos que el cociente es -t +2/(t+1)

El primer término da un t al cuadrado, que al sustituir los limites de integración suma cero; el segundo término da un logaritmo de 1/(1+t): para t = -1, el denominador se anula y tenemos un problema. ¿Por qué sucede esto? Bueno, me preocupaba ese denominador, pero, en realidad, es muy fácil verlo. La bola teórica apoya en un punto sobre el suelo, por lo que un punto de área cero tendría que soportar toda la presión debida a la aceleración de la frenada, lo que daría lugar a una presión (o un esfuerzo) infinita y, por ende, a una deformación infinita, lo que es ilógico. Lo que realmente sucede, es que la bola se aplasta en el punto de apoyo hasta formar una pequeña base de área finita (así como el suelo, que también cederá, aunque lo hemos despreciado). Esto significa que los límites de integración "reales" serían desde -R+εR (es decir, habría que restar un poquito al radio R por abajo) hasta R, para evitar la indeterminación.

El resultado final es

δ = (2ρa R² /3M)[Ln1/ε-Ln1/2]


Salvo error u omisión, aunque dimensionalmente es correcto.

Por lo demás, hemos abusado de las ecuaciones, pues estas son estáticas y las fuerzas aplicadas no lo son, pero es una aproximación razonable, ¿no?

Sobrepesca

Supongo que pensarán que soy un plasta; bueno, seguramente ¡tienen razón! Aun así, les recomiendo que echen un vistazo a este artículo de Le Monde: Le dernier poisson français de l'anée. Resumiendo, explica cómo, año tras año, se adelanta la fecha en que se agotan las reservas de pescado capturado por la flota francesa (y lo mismo se puede decir del resto de Europa). Como ejemplo, en 1990 tal fecha se verificaba el 6 de septiembre; en 2011, fue el 13 de junio; en 2012, el 21 de mayo; este año se adelanta tres días. La fecha estimada para España en 2011 fue el 8 de mayo. A saber qué habrá pasado este año. En otras palabras: o los caladeros mantienen su capacidad intacta y consumimos cada vez más pescado, por lo que se agota antes, y todo va bien; o esto no es sino una señal inequívoca (más) de la sobreexplotación de los mares y el agotamiento de los caladeros. Llámenme pesimista, pero yo me decanto por lo segundo. ¿A alguien más le importa?

En cotas peligrosas

No me cansaré de repetirlo: estamos jugando con fuego. Hace unos días, los científicos alertaban sobre cómo afectarían las turbulencias en altura, debidas al cambio climático, a los vuelos comerciales. Las concentraciones de CO2 no cesan de crecer y estamos llegando a la cota de 400 ppm. El pasado abril, el Observatorio de Mauna Loa ha registrado la cifra récord de 398 ppm… y subiendo. Sé que no se hará nada y que, mientras se gane dinero, todos apuraremos un poquito más, hasta que sea demasiado tarde. Si os interesa, podeis ver el historial competo de las medidas registradas por el observatorio desde 1958, pinchando en este enlace, que llega hasta marzo de 2013. Urge hacer algo.