De hecho, esta integral es bastante fácil: haciendo un cambio de variable y/R = t y percatándose de que el polinomio del numerador comparte la raíz t = 1 con el del denominador, la cosa se simplifica bastante. Los límites de integración deberían ser, para la variable t, 1 y -1, pero no es así. Veamos primero qué pasa. Dividiendo los polinomios, obtenemos que el cociente es -t +2/(t+1)
El primer término da un t al cuadrado, que al sustituir los limites de integración suma cero; el segundo término da un logaritmo de 1/(1+t): para t = -1, el denominador se anula y tenemos un problema. ¿Por qué sucede esto? Bueno, me preocupaba ese denominador, pero, en realidad, es muy fácil verlo. La bola teórica apoya en un punto sobre el suelo, por lo que un punto de área cero tendría que soportar toda la presión debida a la aceleración de la frenada, lo que daría lugar a una presión (o un esfuerzo) infinita y, por ende, a una deformación infinita, lo que es ilógico. Lo que realmente sucede, es que la bola se aplasta en el punto de apoyo hasta formar una pequeña base de área finita (así como el suelo, que también cederá, aunque lo hemos despreciado). Esto significa que los límites de integración "reales" serían desde -R+εR (es decir, habría que restar un poquito al radio R por abajo) hasta R, para evitar la indeterminación.
El resultado final es
δ = (2ρa R2 /3M)[Ln1/ε-Ln1/2]
Salvo error u omisión, aunque dimensionalmente es correcto.
Por lo demás, hemos abusado de las ecuaciones, pues estas son estáticas y las fuerzas aplicadas no lo son, pero es una aproximación razonable, ¿no?
El primer término da un t al cuadrado, que al sustituir los limites de integración suma cero; el segundo término da un logaritmo de 1/(1+t): para t = -1, el denominador se anula y tenemos un problema. ¿Por qué sucede esto? Bueno, me preocupaba ese denominador, pero, en realidad, es muy fácil verlo. La bola teórica apoya en un punto sobre el suelo, por lo que un punto de área cero tendría que soportar toda la presión debida a la aceleración de la frenada, lo que daría lugar a una presión (o un esfuerzo) infinita y, por ende, a una deformación infinita, lo que es ilógico. Lo que realmente sucede, es que la bola se aplasta en el punto de apoyo hasta formar una pequeña base de área finita (así como el suelo, que también cederá, aunque lo hemos despreciado). Esto significa que los límites de integración "reales" serían desde -R+εR (es decir, habría que restar un poquito al radio R por abajo) hasta R, para evitar la indeterminación.
El resultado final es
δ = (2ρa R2 /3M)[Ln1/ε-Ln1/2]
Salvo error u omisión, aunque dimensionalmente es correcto.
Por lo demás, hemos abusado de las ecuaciones, pues estas son estáticas y las fuerzas aplicadas no lo son, pero es una aproximación razonable, ¿no?