domingo, 14 de abril de 2013

Fotos de ayer

¡Por fin, un poco de sol!





martes, 2 de abril de 2013

Gravedad y rozamiento

En esta tanda de fotografías, os propongo un experimento que cualquiera puede hacer. Yo he utilizado elementos muy sencillos, que todos tenemos en casa. Se trata de una canica que cae, describiendo una parábola—este es el movimiento parabólico que todos hemos estudiado alguna vez en la escuela—, y que rebota en una superficie horizontal: en cada nuevo bote se pierde un poco de energía, hasta que no ya no queda nada y la masa no puede levantarse del suelo. Si uno sabe un poco de física y mide la altura de cada rebote, puede calcular muy fácilmente cuánta energía se ha disipado en cada uno de ellos. Lo veremos luego.

Como os muestro en la siguiente fotografía, los elementos no pueden ser más simples; además de la cámara (que tiene que permitiros seleccionar la exposición (en este caso, el ajuste es 100 ASA, el diafragma está cerrado a tope, y el tiempo de exposición es de 1,3 s, pero esta información es secundaria), he aprovechado el canto de un libro, ligeramente inclinado, para que haga de carril, una lámpara, que proporciona el punto brillante que dibuja la trayectoria en el aire (es lo mismo que en el post del péndulo) y una tabla de las de picar la cebolla, para que proporcione una superficie dura. Se podría prescindir de esta última, pero yo la he usado para elevar un poco el punto de impacto y facilitar el encuadre y el enfoque. Ya veis que es un experimento que podéis repetir con un poco de maña e imaginación, y cambiar la textura de las superficies de rebote, para ver qué sucede: cuánta energía se disipa cada vez. La razón por la que, a veces, los trazos parecen más gruesos, es que he usado dos canicas, una normal y la otra de aproximadamente de diámetro doble.



A continuación, los resultados:












Ahora, si os parece, podemos echar unas cuentas y calcular la energía disipada. Por ejemplo, veamos qué sucede en el primer bote. Tomando medidas en una cualquiera de las fotos, tenemos que la altura H de caída son 18 cm sobre la imagen (las medidas reales no nos importan, porque, como veremos, usaremos cocientes, que son adimensionales), mientras que, en horizontal ha recorrido una distancia S = 8 cm; en el segundo bote, la altura alcanzada es h1 = 4 cm y la distancia recorrida en horizontal es S1 = 7,5 cm.


El tiempo que tarda la bola en caer es t = √(2H/g) (donde "g" es la aceleración de la gravedad). El espacio recorrido, supuesto que la velocidad inicial horizontal sea V0, es


S = V0t = V0√(2H/g)



Tras el rebote, el tiempo que tarda la bola en recorrer el trozo de parábola es (supuesto que parte con velocidad inicial horizontal V01)



 t1 = 2√(2 h1/g)

S1 =  2V01√(2 h1/g)


Tomando cocientes y despejando:

V0/V01 = 2 S/S1 √(h1/H)

Sustituyendo,  V0 = 1,005V01 ó, si lo preferís así, V01 = 0,994 V0

Como la energía cinética depende del cuadrado de la velocidad, de las cifras anteriores se deduce que, en horizontal, prácticamente no se ha perdido energía: la velocidad horizontal permanece casi idéntica. En vertical, las cosas son completamente diferentes:

(E - E1)/E = Mg (H - h1)/MgH = 1- (h1/H) = 1 - 4/18 = 7/9

Es decir, la energía perdida es el 78% de la energía inicial, que se ha disipado en el interior de la bola, al deformarse en el choque, y en la base madera, que también se habrá deformado en el impacto.

Os propongo ahora este desarrollo que se me ha ocurrido (bueno, no es ningún descubrimiento, pero me parece entretenido):

llamemos Ep a la energía perdida en el primer bote y E'p a la que se ha perdido en el segundo bote. Estas son:

Ep = Mg (H- h1)
E'p = Mg (h1 - h2)

donde "h1" y "h2" son las alturas alcanzadas por las parábolas en cada uno de los respectivos botes (siguiendo el mismo esquema del dibujo anterior).

Si tomamos el cociente:

Ep/E'p = (H - h1)/ (h1 - h2)

Llamemos Vy a la velocidad vertical en el primer bote, Vy1 a la misma en el segundo bote y Vy2 a la del tercer bote. Si os fijáis, 

Vy = √(2gH)
Vy1 = √(2gh1)
Vy2 = √(2gh2)

O sea, elevando al cuadrado las velocidades, restándolas entre sí y tomando cocientes

Ep/E'p = (V2y - V2y1) / (V2y1 - V2y2)

Es decir, que cada una de las energías disipadas en el bote es proporcional a la diferencia de los cuadrados de las velocidades verticales al llegar al punto de impacto y al salir de él. No es extraño, es precisamente la variación de energía cinética en vertical. También se podía haber deducido de la transformación de la energía potencial en cinética.




Si hacéis cuentas, veréis que en los botes sucesivos la pérdida de energía es del 50 %, aproximadamente, frente al casi 80 % que se pierde en el primero. ¿Por qué? Esto parece sugerir que la energía disispada depende de la velocidad. Os propongo un modelo sencillo. Al chocar, la bola se deforma y el centro de masas se desplaza hacia abajo una cantidad ∆ (véase la imagen). Supongamos que sobre el centro de masas se ejerce una fuerza proporcional a la velocidad que lo frena hasta que se detiene la deformación y se inicia el rebote; podemos plantear la ecuación:

F - Mg = M dv/dt

Para simplificar, voy a suponer que el peso de la bola es muy pequeño frente a la fuerza que detiene la bola (lo que es muy razonable, puesto que ∆ es pequeñísimo, la aceleración de la frenada en muy grande frente a g), por lo que nos queda

F  = M dv/dt;     F dt = M dv

Como podemos escribir, dt = dy/v y hemos supuesto que F = Kv

Kv dy = M v dv

Integrando entre 0 y ∆ a la izquierda, y entre Vy y 0 a la derecha, obtenemos:

K∆ = M Vy

Es decir:

∆ = (M/K) Vy

En otras palabras, la deformación de la bola es proporcional a la velocidad vertical del impacto. Razonable, ¿no?